Коротко, структурированно и по делу — план урока (60–90 мин) для введения понятия рода (genus) для начинающих. Вариант ориентирован на топологический род замкнутых поверхностей (ориентируемых и неориентируемых).
Цели урока
- Ввести интуитивное и формальное понятие рода поверхности.
- Научить вычислять род через эйлерову характеристику и разбиения (триангуляции, полигональные модели).
- Показать простые методы «разрезать/склеить» для определения рода (наглядность).
- Дать набор упражнений для закрепления.
Необходимая подготовка учащихся
- Понятия поверхности, замкнутой поверхности (без края), ориентируемости (на уровне интуиции).
- Эйлерова характеристика: $\chi =V-E+F$ для триангуляции/деления на полигоны.
Структура урока (~75 мин)
1. Вводная мотивация (5–8 мин)
- Вопросы: чем отличаются шар, тор, двойной тор? Что такое «сколько у поверхности ручек»?
- Демонстрация моделей: сфера (шарик), тор (резиновое кольцо), лента Мёбиуса, проективная плоскость (схематично).
2. Формальное определение и ключевые формулы (10–12 мин)
- Определение (интуитивно): род ориентируемой замкнутой поверхности = число «ручек».
- Связь с Эйлеровой характеристикой для ориентируемых поверхностей:
$$\chi =2-2g,$$ откуда
$$g=1-\frac{\chi }{2}.$$ - Для неориентируемых поверхностей (с количеством «крестиков» $k$):
$$\chi =2-k.$$ - Свойство аддитивности рода при связной сумме:
$$g(S_1\#S_2)=g(S_1)+g(S_2).$$
3. Наглядные полигональные модели (15 мин)
- Квадрат с парами противоположных сторон, ориентировки дающие тор (AA^{-1}BB^{-1}) — показать, как идентификация порождает тор.
- Общая модель: 4g-угольник с рёбрами в паттерне, дающем поверхность рода $g$.
- Показать проективную плоскость как квадрат с соответствующими склейками (неориентируемая).
4. Практические упражнения в классе (25–30 мин)
Упражнение A (быстрое, 5–7 мин). Тор из квадрата.
- Дано: квадрат с отождествлением противоположных сторон (одинаковыми ориентациями) — показать триангуляцию: выбрать один вершина, два ребра, одна грань (после склейки): $V=1,E=2,F=1$.
- Вычислить:
$$\chi =V-E+F=1-2+1=0,$$ следовательно
$$g=1-\frac{0}{2}=1.$$ Почему упражнение эффективно: простая модель + счёт подтверждает формулу наглядно.
Упражнение B (15 мин). Трианные/полигональные данные — найти род.
- Вариант 1: Дан триангуляция поверхности: $V=6,E=12,F=8$. Найти род.
Решение: $\chi =6-12+8=2\Rightarrow g=1-\chi /2=0$ (сфера).
- Вариант 2: Дан 8-угольник с определённым схематическим склеиванием (паттерн соответствует $g=2$). Попросить студентов на бумаге отобразить пары рёбер и подсчитать $\chi$.
Почему эффективно: работа с числами формирует навык вычисления рода через $\chi$.
Упражнение C (групповое, 10–15 мин). Разрезай и склеивай.
- Раздать бумажные схемы: квадрат для торa, схема для проективной плоскости, схема для двойного тора. Попросить: вырежьте, склейте, определите количество ручек/крестиков и вычислите $\chi$.
Почему эффективно: тактильная деятельность укрепляет интуицию о склейках и ориентируемости.
5. Короткая дискуссия/пояснения (5–7 мин)
- Почему формула $\chi =2-2g$ имеет смысл: шар имеет $\chi =2$ и $g=0$; добавление handle уменьшает $\chi$ на 2.
- Отличие ориентируемых и неориентируемых случаев — что означает неориентируемость в склейках.
6. Домашняя работа и контроль (задание на 1–2 дня)
- Задача 1. Дана поверхность, полученная от сферы добавлением двух ручек (или связной суммой двух торов). Найти $\chi$ и $g$.
- Задача 2. Дан полиэдр с триангуляцией $V=4,E=6,F=4$. Что это за поверхность?
- Задача 3. Покажите, что связная сумма тора и проективной плоскости даёт неориентируемую поверхность, найдите $\chi$ и соответствующий параметр.
- Короткий тест (5 вопросов): вычисление $\chi$, нахождение $g$, опознавание моделей.
Решения/подсказки для HW (кратко)
- Связная сумма двух торов: $g=2$, $\chi =2-2\cdot 2=-2$.
- Для $V=4,E=6,F=4$: $\chi =4-6+4=2\Rightarrow g=0$ — сфера.
- Связная сумма тора и проективной плоскости: ориентируемость теряется; $\chi =0+1-2=-1$? (точно разбирать схему), полезно давать схему склеек. (На уроке разъяснить корректное вычисление при смешении ориентируемости.)
Почему предложенные упражнения эффективны (кратко)
- Комбинация визуализации (модели, разрез/склейка) и вычислений (Эйлерова характеристика) даёт двухстороннее закрепление: интуиция + формула.
- Простые числовые задачи быстро дают обратную связь о понимании формулы $\chi =2-2g$.
- Групповая работа и бумажные модели вовлекают студентов разными каналами восприятия (кинестетика, визуализация, логика).
- Связь с полигональными моделями позволяет сразу показать построение поверхностей заданного рода (4g-угольник).
Материалы и раздатки
- Листы с шаблонами квадратов/многоугольников, ножницы, клей/скотч.
- Схемы триангуляций для классических поверхностей.
- Короткая шпаргалка с формулами: $\chi =V-E+F$, $\chi =2-2g$, аддитивность рода.
Оценивание (кратко)
- В классе: правильность вычислений в упражнениях.
- HW + короткий тест: 5–7 заданий (вычисления и распознавание моделей).
Если нужно, могу прислать: 1) готовые шаблоны полигонов/триангуляций для печати; 2) набор из 6 контрольных задач с ответами.