Для исследования функции Y=x/2-2x на монотонность, необходимо проанализировать производную этой функции.

Производная функции Y=x/2-2x вычисляется следующим образом:
Y' = d/dx (x/2-2x) = 1/2 - 2

Уравнение производной равно 0:
1/2 - 2 = 0
1/2 = 2

Так как это уравнение не имеет решения, можно сделать вывод, что у функции Y=x/2-2x нет точек экстремума.

Для исследования монотонности этой функции можно проанализировать знак производной на интервалах (-бесконечность; 1/4) и (1/4; +бесконечность).

На интервале (-бесконечность; 1/4) производная положительна (1/2 - 2 > 0), что говорит о том, что функция монотонно возрастает на этом интервале.

На интервале (1/4; +бесконечность) производная отрицательна (1/2 - 2 < 0), что означает, что функция монотонно убывает на этом интервале.

Итак, функция Y=x/2-2x монотонно возрастает на интервале (-бесконечность; 1/4) и монотонно убывает на интервале (1/4; +бесконечность).