Деепричастия пишутся с "не" раздельно, когда "не" является отрицанием к действию, выраженному деепричастием. Вот предложения, в которых деепричастия пишутся с "не" раздельно:

1. Любочка, не мигая, смотрела прямо на папу, чтобы не проронить ни одного слова.

2. Весь день шёл снег, не переставая.

3. Отец замолчал, так и не найдя ответа на этот вопрос.

4. Завод, не довыполнив план и в этом месяце, окончательно лишился доверия администрации города.

5. Он, не забывая о родителях, писал им письма каждый день.

Во всех этих предложениях "не" отрицает действие, выраженное деепричастием, и поэтому пишется раздельно.