Связь между глаголом "Остаться" и дополнением "дома" можно назвать управлением, потому что глагол требует наличие определенного дополнения, чтобы быть полноценным предложением. В данном случае глагол "Остаться" требует дополнения в форме наречия места "дома".

Связь между глаголом "Хочет" и дополнением "кушать" можно назвать примыканием, потому что дополнение здесь не является обязательным для полноценности глагола. Глагол "Хочет" может употребляться как самостоятельно (без дополнения), так и с дополнением в виде инфинитива "кушать".