Для нахождения наибольшей и наименьшей прибыли на заданных промежутках необходимо найти критические точки функции прибыли P(x) и провести анализ её знаков.

а) На промежутке [1;12]:

P'(x) = -3x^2 - 20x + 42

Находим критические точки:

-3x^2 - 20x + 42 = 0
x = 2, x = -7

Поскольку x не может быть отрицательным (так как время не может быть отрицательным), то на промежутке [1;12] единственная критическая точка - x = 2.

Анализ знаков производной:

P'(1) = -3 + 20 + 42 = 59 > 0
P'(3) = -27 - 60 + 42 = -45 < 0

Следовательно, прибыль убывает на промежутке [1;2] и возрастает на промежутке [2;12].

Максимальное значение прибыли на промежутке [1;12] будет в точке x = 2. Вычисляем P(2):

P(2) = -2^3 - 102^2 + 422 = -8 - 40 + 84 = 36

Следовательно, на промежутке [1;12] наибольшая прибыль равна 36.

б) На промежутке [2;6]:

На указанном промежутке единственная критическая точка - x = 2 (как и в предыдущем пункте).

Максимальное значение прибыли на промежутке [2;6] также будет в точке x = 2:

P(2) = 36

Наименьшее значение прибыли будет либо в точке x = 2, либо на одном из краев промежутка. Поскольку прибыль увеличивается на промежутке [2;6], то минимальная прибыль будет в точке x = 6:

P(6) = -6^3 - 106^2 + 426 = -216 - 360 + 252 = -324

Следовательно, на промежутке [2;6] наименьшая прибыль равна -324.

в) На промежутке [9;12]:

На указанном промежутке также единственная критическая точка - x = 2 (как и в предыдущих пунктах).

На этом промежутке прибыль продолжает увеличиваться, поэтому наибольшая прибыль будет в точке x = 12:

P(12) = -12^3 - 1012^2 + 4212 = -1728 - 1440 + 504 = -2664

Следовательно, на промежутке [9;12] наибольшая прибыль равна -2664.