Обозначим количество монет по номиналам следующим образом:

(x) — количество однометровых монет,(y) — количество двухрублевых монет,(z) — количество пятирублевых монет.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие уравнения:

Общее количество монет:
[
x + y + z = 310
]

Общая сумма в рублях:
[
x + 2y + 5z = 1010
]

Количество монет каких-то двух достоинств равно количеству монет третьего достоинства. Допустим, что количество двух достоинств равно (k), тогда возможны три случая:

(x = y = k) и (z = 310 - 2k),(y = z = k) и (x = 310 - 2k),(z = x = k) и (y = 310 - 2k).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: (x = y = k)

Подставим в первое уравнение:
[
k + k + z = 310 \implies 2k + z = 310 \implies z = 310 - 2k
]

Подставим выражение для (z) во второе уравнение:
[
k + 2k + 5(310 - 2k) = 1010
]
Упрощаем:
[
k + 2k + 1550 - 10k = 1010
]
[
-7k + 1550 = 1010 \implies -7k = 1010 - 1550 \implies -7k = -540 \implies k = \frac{540}{7} \approx 77.14
]
Значения (k) не является целым, значит, этот случай не подходит.

Случай 2: (y = z = k)

Подставим:
[
x + k + k = 310 \implies x + 2k = 310 \implies x = 310 - 2k
]
Подставим во второе уравнение:
[
(310 - 2k) + 2k + 5k = 1010
]
Упрощаем:
[
310 - 2k + 2k + 5k = 1010 \implies 310 + 5k = 1010 \implies 5k = 1010 - 310 \implies 5k = 700 \implies k = 140
]
Тогда:
[
y = z = k = 140 \implies x = 310 - 2(140) = 30
]

Проверяем:
[
x + y + z = 30 + 140 + 140 = 310 \quad \text{(верно)}
]
[
x + 2y + 5z = 30 + 2(140) + 5(140) = 30 + 280 + 700 = 1010 \quad \text{(верно)}
]

Случай 3: (z = x = k)

Подставим:
[
k + y + k = 310 \implies 2k + y = 310 \implies y = 310 - 2k
]
И подставим во второе:
[
k + 2(310 - 2k) + 5k = 1010
]
Упрощаем:
[
k + 620 - 4k + 5k = 1010 \implies 620 + 2k = 1010 \implies 2k = 1010 - 620 \implies 2k = 390 \implies k = 195
]
Тогда:
[
z = x = k = 195 \implies y = 310 - 2(195) = 310 - 390 = -80
]
Не может быть отрицательным.

Итак, первый и третий случаи нельзя несовместимы. Наконец, для второго случая мы получили:

(x = 30)(y = 140)(z = 140)

Количество монет двух достоинств (двухрублевых и пятирублевых) равно 140.