Пусть натуральные числа ( a, b, c ) таковы, что их попарные суммы ( a + b ), ( a + c ) и ( b + c ) - это простые числа. Мы должны показать, что среди этих трех чисел обязательно присутствуют равные.

Рассмотрим возможные случаи:

Все три числа разные. Тогда мы можем предположить, что ( a < b < c ). Таким образом, мы имеем три попарные суммы:

( a + b )( a + c )( b + c )

Поскольку ( a, b, c ) - все разные натуральные числа, тогда:

( a + b < a + c ) (так как ( b < c ))( a + b < b + c ) (так как ( a < c ))( a + c < b + c )

Поскольку ( a + b ) - простое число, оно нечетное при условии, что хотя бы одно из ( a ) или ( b ) четное. Если оба числа ( a ) и ( b ) нечетные, то сумма ( a + b ) будет четной, и единственным четным простым числом является 2. Следовательно, ( a + b = 2 ), что возможно только если ( a = 1 ) и ( b = 1 ), что приводит к несоответствию, поскольку мы приняли, что числа разные.

Таким образом, хотя бы одно из чисел ( a ), ( b ), ( c ) должно быть четным.

Допусти, что одно из чисел четное, скажем, ( a ), а ( b ) и ( c ) - нечетные. Тогда:

Сумма ( a + b ) - четное число, а значит, не может быть простым, за исключением случая, когда она равна 2. Но если ( b ) и ( c ) нечетные, то ( b + c ) - четное число, следовательно, не может быть простым.

Из этих рассуждений следует, что если бы все числа ( a, b, c ) были различны, то это привело бы к противоречиям по закономерностям сложения четных и нечетных чисел.

Следовательно, среди чисел ( a, b, c ) должны быть как минимум два одинаковых числа.

Таким образом, мы доказали, что среди трех натуральных чисел ( a, b, c ) обязательно есть равные.