Площадь ромба можно вычислить по формуле:

[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}
]

где (d_1) и (d_2) — длинны диагоналей ромба.

Дано, что диагонали относятся как 4:7, и большая диагональ (d_1 = 21 \, \text{см}). Обозначим меньшую диагональ как (d_2).

Так как диагонали относятся как 4:7, можем записать:

[
\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{7}
]

Подставим известное значение диагонали (d_1 = 21 \, \text{см}):

[
\frac{21}{d_2} = \frac{4}{7}
]

Теперь выразим (d_2):

[
21 \cdot 7 = 4 \cdot d_2
]

[
147 = 4 \cdot d_2
]

[
d_2 = \frac{147}{4} = 36.75 \, \text{см}
]

Теперь, имея обе диагонали (d_1 = 21 \, \text{см}) и (d_2 = 36.75 \, \text{см}), подставим их в формулу для нахождения площади:

[
S = \frac{21 \cdot 36.75}{2}
]

[
S = \frac{771.75}{2} = 385.875 \, \text{см}^2
]

Таким образом, площадь ромба составляет approximately ( 385.88 \, \text{см}^2 ) (округляя до двух знаков после запятой).