Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой ( y = x^2 - 6x + 10 ) и вертикальными линиями ( x = 0 ) и ( x = 5 ), а также осью OX, нужно выполнить следующие шаги.

Определим границы интегрирования: В данном случае это ( x = 0 ) и ( x = 5 ).

Найдем, пересекает ли кривая ось OX. Для этого найдем корни уравнения:
[
x^2 - 6x + 10 = 0
]
Дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4
]
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, а значит, кривая не пересекает ось OX и всегда положительна на интервале от 0 до 5.

Вычислим определенный интеграл: Площадь искомой фигуры будет равна интегралу от функции ( y ) по интервалу ([0, 5]):
[
S = \int_0^5 (x^2 - 6x + 10) \, dx
]

Вычислим интеграл:
[
\int (x^2 - 6x + 10) \, dx = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x + C
]
Теперь найдем определенный интеграл:
[
S = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x \right]_0^5
]

Подставляем верхний предел ( x = 5 ):
[
S(5) = \frac{5^3}{3} - 3 \cdot 5^2 + 10 \cdot 5 = \frac{125}{3} - 3 \cdot 25 + 50 = \frac{125}{3} - 75 + 50
]
Так как ( 75 = \frac{225}{3} ) и ( 50 = \frac{150}{3} ), то:
[
S(5) = \frac{125 - 225 + 150}{3} = \frac{50}{3}
]

Теперь подставим нижний предел ( x = 0 ):
[
S(0) = 0
]

Вычислим окончательно площадь:
[
S = S(5) - S(0) = \frac{50}{3} - 0 = \frac{50}{3}
]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна:
[
\boxed{\frac{50}{3}}
]