Чтобы определить площадь фигуры, ограниченной графиками функций (y = x^2 - 4x + 3) и (y = 3x + 3), сначала найдем точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем их:

[
x^2 - 4x + 3 = 3x + 3
]

После преобразования получим:

[
x^2 - 4x - 3x + 3 - 3 = 0 \implies x^2 - 7x = 0
]

Факторизуем уравнение:

[
x(x - 7) = 0
]

Таким образом, получаем два корня:

[
x_1 = 0, \quad x_2 = 7
]

Теперь найдем площадь между этими кривыми, вычислив определенный интеграл разности функций на отрезке ([0, 7]):

[
\text{Площадь} = \int_0^7 \left[(3x + 3) - (x^2 - 4x + 3)\right] dx
]

Упростим выражение под знаком интеграла:

[
(3x + 3) - (x^2 - 4x + 3) = 3x + 3 - x^2 + 4x - 3 = -x^2 + 7x
]

Теперь в отдельности вычислим интеграл:

[
\int_0^7 (-x^2 + 7x) \, dx
]

Сначала найдем первообразную:

[
\int (-x^2 + 7x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} + C
]

Теперь вычислим определенный интеграл от (0) до (7):

[
\left[-\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2}\right]_0^7
]

Подставим верхний предел:

[
=-\frac{7^3}{3} + \frac{7 \cdot 7^2}{2} = -\frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 49}{2} = -\frac{343}{3} + \frac{343}{2}
]

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет 6:

[
-\frac{343}{3} = -\frac{686}{6}, \quad \frac{343}{2} = \frac{1029}{6}
]

Теперь вычтем:

[
-\frac{686}{6} + \frac{1029}{6} = \frac{343}{6}
]

Теперь подставим нижний предел ((x = 0)), который дает нам (0). Таким образом, площадь фигуры составляет:

[
\text{Площадь} = \frac{343}{6}
]

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна (\frac{343}{6}) квадратных единиц.