В предложении "Заядлые путешественники, ищущие, что посмотреть в России самого необычного и даже мистического, непременно должны спуститься в Кунгурскую пещеру" грамматическая основа такова:

Подлежащее: Заядлые путешественникиСказуемое: должны спуститься

Сказуемое в данном случае выражено сочетанием модального глагола "должны" и инфинитивом "спуститься". Важно отметить, что в предложении также есть обособленное определение и уточняющие детали, но основная грамматическая структура состоит из подлежащего и сказуемого.