Чтобы найти модуль напряженности электрического поля (\mathbf{E}), нужно воспользоваться тем, что напряженность электрического поля связана с потенциалом (\varphi) как:

[
\mathbf{E} = -\nabla \varphi
]

Где (\nabla \varphi) — градиент потенциала. В данной задаче потенциал задан как:

[
\varphi = a \left( y^5 - 10x^2y^3 + 5x^4y \right)
]

где (a = 1 \, \text{В/м}^5).

Шаг 1: Найдем частные производные

Найдем частные производные $\phi$ по $x$ и $y$:

Частная производная по (x):

[
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = a \left( -20xy^3 + 20x^3y \right)
]

Частная производная по (y):

[
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = a \left( 5y^4 - 30x^2y^2 + 5x^4 \right)
]

Шаг 2: Подставим значение (a = 1) и координаты (x = 1 \, \text{м}, y = 0.5 \, \text{м})

Начнём с производной по (x):

[
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = -20(1)(0.5)^3 + 20(1)^3(0.5) = -20(1)(0.125) + 20(1)(0.5) = -2.5 + 10 = 7.5
]

Теперь вычислим производную по (y):

[
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 5(0.5)^4 - 30(1)^2(0.5)^2 + 5(1)^4
]
[
= 5(0.0625) - 30(1)(0.25) + 5(1) = 0.3125 - 7.5 + 5 = -2.1875
]

Шаг 3: Найдем компоненты электрического поля

Теперь можем найти компоненты электрического поля:

[
E_x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} = -7.5
]
[
E_y = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2.1875
]

Шаг 4: Найдем модуль напряженности электрического поля

Модуль напряженности электрического поля определяется формулой:

[
E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}
]

Подставим значения:

[
E = \sqrt{(-7.5)^2 + (2.1875)^2} = \sqrt{56.25 + 4.78515625} = \sqrt{61.03515625}
]

Теперь вычислим:

[
E \approx \sqrt{61.03515625} \approx 7.81 \, \text{В/м}
]

Ответ

Модуль напряженности электрического поля в точке с координатами (x = 1 \, \text{м}, y = 0.5 \, \text{м} ) составляет приблизительно ( \boxed{7.81 \, \text{В/м}} ).