Чтобы найти наибольшее натуральное число ( N ), состоящее из различных цифр, такое что при умножении любой его цифры на 120 получается число, большее ( N ), нужно рассмотреть условия задачи.

Пусть ( N ) состоит из ( k ) цифр ( d_1, d_2, \dots, d_k ). Условие задачи даёт нам неравенство:

[
120 \cdot d_i > N \quad \text{для всех } i = 1, 2, \dots, k.
]

Рассмотрим ( N ) в его самой большой форме, т.е. максимальное количество цифр от 0 до 9. Наибольшее натуральное число, состоящее из различных цифр, – это 9876543210, но мы должны исключить 0, чтобы ( N ) был натуральным числом (основным требованием).

Далее, чтобы соблюсти условие ( 120 \cdot d_i > N ), начнем с того, что ( d_i ) должно быть меньше, чем ( \frac{N}{120} ).

Если мы возьмем максимальное значение для ( N ), то для ( 987654321 ):

( N = 987654321 ) (9 цифр)Наименьшая цифра в этом числе – это 1.Проверяем: ( 120 \cdot 1 = 120 ), и 120 не больше 987654321.Мы можем проверить и для больших цифр.

Теперь проверим меньшие числа, начиная с 9 и уменьшая до 1:

Допустим, ( N = 98765432 ):

( 120 \times 1 = 120 ),( 120 \times 2 = 240 ),( 120 \times 3 = 360 ),...( 120 \times 9 = 1080 ).

Проверим ( N = 9876543 ):

( 120 \times 1 = 120 ),( 120 \times 2 = 240 ),( 120 \times 3 = 360 ),( 120 \times 4 = 480 ) (все меньше 9876543).

И так далее, пока не найдем максимальное число ( N ), при котором наблюдаем минимум одну цифру ограничением.

Касаясь задачи более в общем смысле, живем с пониманием, что:

[
\text{С максимальными цифрами на 9876543} \text{условие выполняется. }
]

Следовательно. Наибольшее натуральное число ( N ) будет:

[
\boxed{9876543}.
]