Кратко и по пунктам.
1) Алгоритмические улучшения
- Проверки делителей:
- Не пытаться делить на все $j\in [2,\lfloor \sqrt{i}\rfloor ]$ каждый раз — хранить только простые делители: перебор делителей среди уже найденных простых уменьшит количество делений (сильнее заметно для больших $N$).
- Вместо вычисления $\lfloor \sqrt{i}\rfloor$ заново можно использовать $\text{math.isqrt(i)}$ или условие $j\ast j\le i$ (в Python $\text{isqrt}$ обычно быстрее и точнее).
- Пропуск очевидных составных:
- Пропускать четные $i>2$, т.е. перебирать кандидатов с шагом $2$ или использовать «колесо» (wheel) для пропуска кратных первых простых ($2,3,5,\dots$).
- Решето:
- Классическое решето Эратосфена: время $\mathcal{O}\left(N\log \log N\right)$, память $\mathcal{O}(N)$. Для больших $N$ оно существенно быстрее простого перебора.
- Сегментированное решето: разбить диапазон на сегменты размером $S$; нужно сначала найти простые до $\sqrt{N}$, затем пометить в каждом сегменте. Память $\mathcal{O}(\sqrt{N}+S)$, позволяет обрабатывать большие $N$ и легче параллелится.
- Решето Аткина — более сложное, иногда быстрее для очень больших $N$, но сложнее реализовать и отладить.
- Вероятностные тесты:
- Для проверки отдельных больших чисел вместо поиска всех простых использовать тесты Миллера–Рабина (несколько раундов) или детерминированные наборы баз для 64‑бит. Быстро, но probabilistic (риск мал).
- Асимптотика и практические пороги:
- Для $N$ до порядка $10^6-10^7$ простое решето или улучшенный перебор (кандидаты нечётные + деление по найденным простым) — оптимально.
- Для $N\gtrsim 10^8$ — решето (лучше сегментированное или библиотечное), для очень больших $N$ — специальные C/C++ библиотеки и параллелизация.
2) Инженерные оптимизации (реализация в Python)
- Минимизировать накладные расходы Python:
- Локальные переменные (присвоить часто используемые функции/атрибуты в локальные имена).
- Избегать тяжелых абстракций в горячих циклах (генераторы, all(...) с генератором даёт небольшую накладную).
- Использовать $\text{math.isqrt}$ вместо $\text{int(math.sqrt(...))}$.
- Память:
- Использовать битовые/байтовые массивы: $\text{bytearray}$ или специализированные бит‑массивы (bitarray) для решета — экономия памяти и лучше кеширование.
- C-ускорение / JIT:
- Cython/Numba: критические циклы можно перевести в C‑уровень — большой выигрыш.
- PyPy иногда даёт выигрыш на чисто-питоновских циклах, но не гарантирован.
- Использование готовых библиотек:
- primesieve (C++ с Python‑обёрткой) — очень быстрое многопоточное решето/генератор простых.
- gmpy2 — быстрые операции с большими целыми, тесты простоты.
- sympy.ntheory / sympy.isprime — удобны, но не самые быстрые по сравнению с primitives на C.
- Векторизация:
- Numpy для булевых массивов решета возможна, но операции с шагами (strides) могут быть неэффективны; лучше использовать низкоуровневую реализацию или C‑библиотеку.
3) Параллелизация
- Сегментированное решето удобно для параллелизации: независимые сегменты можно обрабатывать в отдельных процессах.
- В Python: использовать multiprocessing (процессы, чтобы обойти GIL) или запускать C/C++ библиотеки, которые используют потоки без GIL.
- Параллельная стратегия для теста отдельных чисел: распределить кандидатов по процессам/потокам.
- Обратные эффекты:
- Накладные расходы на передачу данных и синхронизацию.
- Уменьшение локальности памяти — падение кеш‑эффекта.
- Для малых $N$ накладные расходы на создание процессов/потоков перевесят выигрыш.
4) Профилирование и проверка
- Инструменты: $\text{cProfile}$, $\text{pyinstrument}$, \(\texttt{line_profiler}\), \(\texttt{memory_profiler}\), системные утилиты $\text{perf}$.
- Метод: профиль на репрезентативных $N$, найти «горячие точки» (деления, аллокации), оптимизировать там.
- Измерять скорость на нескольких входах, учитывать кэш/разогрев.
5) Негативные эффекты оптимизаций (чего остерегаться)
- Усложнение кода: сложные оптимизации (wheel, бит‑упаковка, аткина, C‑расширения) ухудшают читаемость и поддерживаемость.
- Переоптимизация: для небольших $N$ оптимизированный Python→C вызов может быть медленнее простого Python‑цикла из‑за накладных расходов на переходы.
- Память vs скорость: плотное битовое хранение экономит память, но усложняет операции и может снижать скорость при частых обращениях.
- Параллелизм: синхронизация, I/O и межпроцессное копирование данных могут свести на нет выигрыш.
- Надежность: вероятностные тесты дают шанс ошибки (хотя крайне мал для правильно выбранных раундов), а сложные решения могут ввести баги.
- Портируемость/зависимости: использование нативных библиотек (primesieve, gmpy2) даёт скорость, но требует сборки/зависимостей.
6) Практические рекомендации (коротко)
- Для учебного/простого случая: улучшить перебор — проверять только нечётные, использовать делители только среди уже найденных простых, math.isqrt.
- Для $N$ от $10^6$ до $10^9$: использовать решето Эратосфена или сегментированное решето с bytearray.
- Для очень больших $N$ или массовых запросов: использовать primesieve, gmpy2 или собственные C/Cython реализации и распараллеливание.
- Обязательно профилировать перед оптимизацией и тестировать корректность после изменений.
Если нужно, могу: прислать короткий патч‑пример на Python с использованием math.isqrt + делители только среди простых или пример сегментированного решета с bytearray.