Кратко и по пунктам.
Корректность
- Алгоритм возвращает k-ю порядковую статистику при предположении, что k — 0‑индекс (т.е. k=0 — минимум). Код корректен: он делит массив на три части (меньше, равные, больше) и рекурсивно выбирает нужную часть или возвращает элемент из middle при попадании в диапазон равных значений.
- Нужно проверять границы k (0 ≤ k < len(a)) и учитывать, что при пустом a поведение некорректно.
Временная сложность
- Средняя (в среднем по случайной перестановке входа или при случайном выборе пивота): ожидаемое время линейное, т.е. $O(n)$.
- Худшая (при постоянно крайне несбалансированных разбиениях, например, когда рекурсивно уменьшается на 1): квадратичная, т.е. $O(n^2)$. Можно записать рекуррент: $T(n)=T(n-1)+\Theta (n)\Rightarrow T(n)=\Theta (n^2)$.
Память и практические проблемы
- Текущая реализация создаёт три новых списка на каждом вызове: left, mid, right. В неблагоприятном случае (глубокая рекурсия с размерами $n,n-1,n-2,\dots$) суммарное используемое дополнительное пространство по стеку может стать $O(n^2)$.
- При «хороших» разбиениях глубина $O(\log n)$ и суммарная дополнительная память будет $O(n)$. Но гарантии нет.
- Дополнительные проблемы: перегрузка сборщика мусора и большое число аллокаций списков (константные накладные расходы).
Модификации для устойчивости к худшему случаю и улучшения памяти
1. Вариант 1 — рандомизация:
- Выбирать пивот случайно (или перемешать массив перед вызовом). Это делает худшие входы маловероятными; ожидаемое время $O(n)$ и вероятность квадратичного поведения экспоненциально мала.
- Можно при этом использовать in-place partitioning (Lomuto или Hoare), чтобы снизить дополнительную память до $O(1)$.
2. Вариант 2 — in-place Quickselect + итеративная реализация:
- Реализовать partition на месте и заменить рекурсию циклом (tail‑recursion elimination): после разбиения продолжать только в меньшей из двух частей рекурсивно, а для другой части — итеративно. Это гарантирует стек глубиной $O(\log n)$ в среднем и $O(n)$ в худшем при неудачных разбиениях, но при in-place нет копирования массивов, поэтому дополнительная память $O(1)$.
- Примерный подход: выбрать pivot_index, выполнить in-place partition, вычислить размер левой части, и в цикле сузить границы массива.
3. Вариант 3 — гарантированный линейный алгоритм (median‑of‑medians, BFPRT):
- Выбирать пивот как «медиану медиан» (группировать по 5, находить медианы, рекурсивно находить медиану этих медиан). Это даёт гарантированное время $O(n)$ в худшем случае, но с большим константным множителем.
- Полезно, когда требуется строгая гарантия времени.
Резюме рекомендаций (практически применимо)
- Для практических задач: использовать in-place quickselect с разовым перемешиванием входа или выбором случайного пивота — сочетание простоты, низкой памяти ($O(1)$) и ожидаемой линейной скорости.
- Для критичных по времени задач с adversarial input — использовать median‑of‑medians, если приемлема большая константа в сложности.
- Всегда проверять границы k и, при большом количестве равных значений, учесть оптимизацию через трёхчастное разбиение (Dutch National Flag) в in-place реализации.