Кратко и по существу — что даёт каждое решение и какие у него ограничения.
Блочная оптимизация (tiling / cache blocking)
- Что даёт: уменьшает количество промахов кеша и повышает локальность данных; позволяет эффективно использовать регистры и SIMD, поэтому реальная пропускная способность памяти превращается в вычислительную. Ассимптотика остаётся $\mathcal{O}(n^3)$.
- Ограничения: требует подбора размера блока относительно уровней кеша; выгода минимальна если матрицы малы и полностью помещаются в кеш; не уменьшает число арифметических операций.
Алгоритм Страссена
- Что даёт: теоретически снижает число операций до порядка $\mathcal{O}\left(n^{{\log }_{2}7}\right)$, где ${\log }_{2}7\approx 2.8074$, т.е. асимптотический выигрыш по флопам по сравнению с классическим $\mathcal{O}(n^3)$.
- Ограничения: большая сложность реализации, дополнительные временные матрицы (память $\Theta (n^2)$ с большим константным множителем), ухудшенная численная устойчивость (больше сумм/вычитаний → рост ошибок), практическая эффективность наступает только при достаточно больших $n$ (обычно $n\gtrsim 2000$–$10000$ в зависимости от железа), плохо сочетается с highly-optimized BLAS-керневами и GPU-библиотеками. Часто используют гибрид: Страссен сверху, а в базовом случае вызывают оптимизированный GEMM.
Использование BLAS и многопоточности
- Что даёт: готовые высокооптимизированные реализации GEMM (уровень-$3$ BLAS: GEMM) реализуют блочную упаковку, векторные и assembly-кернелы, многопоточность — достигают высокой доли пиковой производительности CPU. На практике это даёт наилучший выигрыш для большинства задач на CPU.
- Ограничения: масштабирование ограничено числом ядер, пропускной способностью памяти и проблемами NUMA; требуется правильная организация данных (выравнивание, порядок хранения, padding); малые матрицы не полностью загружают все потоки и дают худший ускорение.
GPU (cuBLAS, Tensor Cores и т.п.)
- Что даёт: очень высокая пиковая пропускная способность FLOPS, отличная производительность на больших матрицах за счёт тысяч потоков и быстрой локальной памяти (shared memory); Tensor Cores дают огромный выигрыш в смешанной точности (FP16/TF32) для больших матриц.
- Ограничения: накладные расходы на копирование данных по PCIe/NVLink (значимы для малых $n$); ограничение объёма видеопамяти; для малых/средних матриц GPU часто недозагружен; требует специализированного кода/библиотек и внимания к заполнению/выравниванию, точности (mixed precision) и occupancy.
Распределённые/кластерные умножения
- Что даёт: масштабирование на большие размеры, когда одна машина не вмещает данные.
- Ограничения: сеть и коммуникации (латентность/пропускная способность) часто становятся узким местом; алгоритмы типа SUMMA/Cannon используют блочную декомпозицию для минимизации коммуникаций; реализация Страссена в распределённой среде усложняет коммуникации и память.
Краткие практические рекомендации
- Всегда начинайте с оптимизированной BLAS (MKL, OpenBLAS, BLIS) + корректного размещения памяти и блочной упаковки.
- Для одноплатформенных больших задач используйте GPU (cuBLAS / Tensor Cores) если $n$ достаточно велико и данные можно держать на устройстве (значительный выигрыш при больших $n$).
- Страссен — только при очень больших $n$ и когда допустим компромисс по точности и памяти; для большинства практических задач лучше гибридное решение (Страссен сверху, BLAS в базовом случае).
- В распределённой среде проектируйте распределение блоков (block-cyclic), используйте SUMMA и минимизируйте коммуникацию; оптимизация локального GEMM остаётся ключевой.
Если нужно, могу оценить, какая стратегия выгоднее для конкретных размеров матриц, точности и доступного оборудования — укажите $n$, тип числа (FP32/FP64) и имеющееся железо (CPU ядра, RAM, GPU модель).