Для каждого размера — коротко: алгоритм(ы), почему (память / частично упорядоченные данные), сложность (время / доп. память).
1) Массив размера $10$
- Рекомендация: Insertion sort (или простой selection sort)
- Почему: очень малый n — минимальные накладные расходы; insertion адаптивен к частично упорядоченным данным (быстрое поведение при наличии ран).
- Сложность: время в худшем/среднем $O(n^2)$, в лучшем (почти отсортирован) $O(n)$; доп. память $O(1)$.
2) Массив размера $10^4$
- Рекомендация: если частично упорядоченные данные часты — Timsort (используется в Python), иначе высокоэффективный in-place Introsort (std::sort — quicksort+heap).
- Почему: Timsort адаптивен к ран-структуре (использует обнаружение и слияние ран) — экономит время при частично упорядоченных данных; Introsort даёт очень быструю in‑place сортировку с гарантией $O(n\log n)$ и малым дополнительным стеком. Выбор зависит от требований к стабильности и доступной памяти.
- Сложность: Timsort — худшее/среднее $O(n\log n)$, лучший $O(n)$ при уже упорядоченных данных; доп. память в реализациях до $O(n)$ (использует буфер для слияний). Introsort — среднее/худшее $O(n\log n)$; доп. память $O(\log n)$ (рекурс. стек), обычно in‑place, нестабилен.
3) Массив размера $10^8$
- Сценарий A — данные в памяти и ключи примитивные (целые/фикс. длина):
- Рекомендация: Radix sort (LSD/MSD, блоковый/параллельный) — очень быстро для фиксированных ключей; либо параллельный Introsort при ограниченной памяти.
- Почему: radix даёт близкое к линейному время для целых/строк; Introsort — безопасный in‑place выбор, если память на доп. буфер ограничена.
- Сложность: Radix — $O(n\cdot w)$ (где $w$ — число проходов/разрядов, для 32‑бит обычно константа), доп. память обычно $O(n)$ или $O(b)$ для подсчёта/буфера; Introsort — $O(n\log n)$, доп. память $O(\log n)$.
- Сценарий B — массив не помещается в ОЗУ:
- Рекомендация: External (k‑way) merge sort / внешний сортировщик (replacement selection для генерации длинных ран).
- Почему: для больших данных важны I/O; внешняя сортировка минимизирует число проходов и использует диск/буферы; если данные имеют раны — natural merge / replacement selection уменьшат число проходов.
- Сложность: количество I/O-проходов и время зависят от памяти-буфера M и числа лент; логическое время часто представляется как $O(n\log n)$ вычислительно, по диску — $O\left(\frac{n}{B}{\log }_{M/B}\frac{n}{B}\right)$ в модели внешней памяти; доп. место на диске $O(n)$.
Краткие рекомендации выбора по памяти/частично упорядоченным данным:
- Очень маленькие $(n\le 10^2)$ — insertion sort (адаптивен, $O(1)$ память).
- Средние $(\sim 10^4)$ — Timsort если часто есть частично упорядоченные входы; иначе std::sort (Introsort) для экономии памяти.
- Очень большие $(\sim 10^8)$ — если ключи целые и память позволяет — radix; если память ограничена — in‑place Introsort (параллельный) или внешний merge sort при выходе за ОЗУ.