Проблема заключается в неправильном использовании оператора сравнения в условных операторах.

Вместо if (quest = 3) и if (quest = 4) нужно использовать if (quest == 3) и if (quest == 4) соответственно.

Вместо присваивания значения переменной quest (что делает оператор =), нужно проводить сравнение значений (что делает оператор ==).

Исправленный код:

var quest = 0;
var ansv;
var name = prompt("Приветик. Как тебя зовут?");
var vopros = prompt(name + ", " + "поиграем в загадки?");
if (vopros == "да") {
alert("Погнали!");
ansv = prompt("Загадка № 1" + "\n" + "Эта цифра так похожа" + "\n" + "На красивый парус!" + "\n" + "Раздувается всё шире" + "\n" + "Циферка ...").toLowerCase();
if (ansv == "четыре") {
quest = quest + 1;
alert("Верно");
} else
alert("Неверно");
ansv = prompt("Загадка № 2" + "\n" + "Стоит черепаха — стальная рубаха," + "\n" + "Враг в овраг — да ещё где враг?").toLowerCase();
if (ansv == "танк") {
quest = quest + 1;
alert("Верно");
} else
alert("Неверно");
ansv = prompt("Загадка № 3" + "\n" + "Отгадай загадку: у кого за носом пятка?").toLowerCase();
if (ansv == "обувь") {
quest = quest + 1;
alert("Верно");
} else
alert("Неверно");
ansv = prompt("Загадка № 4" + "\n" + "У кого есть шапка без головы, а нога без сапога?").toLowerCase();
if (ansv == "гриб") {
quest = quest + 1;
alert("Верно");
} else
alert("Неверно");
if (quest <= 2) {
alert("Количество правильных ответов = " + quest + "\n" + name + ", " + "дети знают больше, чем ты! Позор!");
} else if (quest == 3) {
alert(name + ", " + "количество правильных ответов = " + quest);
} else if (quest == 4) {
alert("Количество правильных ответов = " + quest + "\n" + name + ", " + "ха! Больно умный!");
}
} else
alert(name + ", " + "да ты трус!");

Теперь счетчик правильно подсчитывает все ответы.