Проблема здесь заключается в том, что вы пытаетесь добавить объект в Map IDs до его инициализации. Вы объявили переменную IDs, но не проинициализировали ее, поэтому она по умолчанию равна null. Когда вы пытаетесь вызвать метод put() на null переменной, это приводит к NullPointerException.

Чтобы исправить это, вы можете проинициализировать Map IDs перед добавлением объектов в нее, например, в конструкторе класса Quest:

public class Quest {
static Map<Integer, Object> IDs = new HashMap<>();
String Text;
Quest(String Text, int ID){
this.Text = Text;
IDs.put(ID, this);
}
}

Теперь Map IDs будет проинициализирована и вы сможете успешно добавлять объекты в нее из конструктора.