«Мы тоже приняли участие в игре» — слитно, так как союз "то" является неотъемлемой частью выражения "тоже".
"Я тоже сегодня пойду в кинотеатр" — здесь "то" не является неотъемлемой частью выражения "тоже", поэтому в этом случае можно написать их раздельно: "Я тоже $также$ сегодня пойду в кинотеатр".