Правильное написание слова – применение.

Правило:

Мягкий знак перед мягкими звуками Л, Н, Р, И, Е пишется как И (пример: применение, приведение, принятие).Твердый знак перед мягкими звуками Л, Н, Р, И, Е пишется как Е (пример: пременение, прежний, предание).

Таким образом, слово "применение" пишется с буквой И, так как перед ней стоит мягкий знак.