[Отправляясь в путешествие], [Александр Сергеевич] [часто брал с собой книги] и [очень старался относиться к ним бережно].

[Отправляясь в путешествие] - обстоятельство времени
[Александр Сергеевич] - подлежащее
[часто брал с собой книги] - сказуемое
[очень старался относиться к ним бережно] - дополнение