Нет, слова "копейка" и "копье" не являются этимологически родственными.

Слово "копейка" происходит от слова "копье", которое значило маленькое копье или копье для метания. По одной из версий, в древнерусское время каменные копьи были заменены железными. В результате каменные «копья» стали за ненадобностью обозначать металлические монеты $которыетакжебыликруглымииплоскими,какикамни$.

Слово "копье", в свою очередь, имеет непосредственно старославянские корни и происходит от древнеславянского слова "копье", что означает древко.