Правильно говорить "делиться своими достижениями" потому что в данном случае используется притяжательное местоимение "своими", которое указывает на принадлежность достижений к субъекту предложения. В данном контексте употребляется форма притяжательного падежа.

Это правило можно найти в грамматических учебниках по русскому языку, а также в различных руководствах по стилистике и правилам русского языка. Также можно обратиться к онлайн-ресурсам, таким как сайты русского языка и его правил.