Да, в данном случае нужна запятая после слова "маму". Это связано с тем, что "купить тебе новую игрушку" является придаточным предложением, выделяемым запятыми, после подлежащего "маму".Это синтаксическое правило, по которому придаточное предложение, следующее после главного, выделяется запятой.