Запятая нужна

Я дома беру телефон, чтобы посмотреть, чем люди заняты на улице.

"чем" - это союзное слово. Присоединяет придаточную часть, которая следует за главной в сложноподчиненном предложении.

Также данное предложение имеет несколько придаточных предложений, основы которых:

я (подлежащее) беру (сказуемое), посмотреть (сказуемое - инфинитив), люди (подлежащее), заняты (сказуемое - кратк.прил.).