"Остаться ни с чем" - это фразеологизм, который является составным сказуемым. В данном случае, "остаться" является глаголом, а "ни с чем" - дополнением, определяющим состояние оставшегося лица. Таким образом, весь фразеологизм "остаться ни с чем" является составным сказуемым.