Для начала определим, что параллелепипед ABCDA1B1C1D1 является прямым, а его рёбра равны, значит его грани являются квадратами.

Так как угол BAD равен 60°, то угол между диагональю B1D и плоскостью грани ADD1A1 равен углу между векторами AB и BD1. Для нахождения угла между векторами используем скалярное произведение:

cos угла = $AB\cdot BD1$ / $|AB|\ast |BD1|$,

где AB = AD + DB, BD1 = BD + DD1.

Так как все рёбра равны, то AB = DB = 1, BD = √2, DD1 = √2.

Тогда AB · BD1 = AD BD + DD DD1 = AD * √2 + 2.

|AB| = √2, |BD1| = √2.

cos угла = $AD\ast \surd 2+2$ / 2,

угол = arccos$(AD\ast \surd 2+2)/2$.

Теперь осталось найти AD. Используем косинусное правило в треугольнике ABD:

cos 60° = $A{B}^2+B{D}^2-A{D}^2$ / $2<em>AB</em>BD$,

1/2 = $2+1-A{D}^2$ / $2\ast 1$,

1 = $3-A{D}^2$ / 2,

AD^2 = 1,

AD = 1.

Тогда угол = arccos$(1\ast \surd 2+2)/2$ = arccos$(\surd 2+2)/2$.

Ответ: угол между диагональю B1D и плоскостью грани ADD1A1 равен arccos$(\surd 2+2)/2$.