Для решения этой задачи можно воспользоваться динамическим программированием.

Пусть dp$$n$$ - количество способов построить забор длиной n метров.

Из условия задачи следует, что dp$$1$$ = dp$$14$$ = 1, так как на первом и последнем метрах должна быть прибита доска.

Далее, можно заметить, что если на n-м метре доска прибита, то на n-1 и n-2 метрах доски быть не может, так как нельзя пропускать более 4 метров. Иначе, если на n-м метре доска не прибита, то на n-1 метре доска должна быть прибита.

Таким образом, формула для dp$$n$$ будет выглядеть следующим образом:
dp$$n$$ = dp$$n-1$$ + dp$$n-3$$ + dp$$n-4$$

Используя эту формулу, заполним массив dp по очереди, начиная с dp$$2$$ и заканчивая dp$$14$$.

Python код для решения задачи:

dp = $$0$$ * 15
dp$$1$$ = dp$$14$$ = 1
for i in range$2,15$:
dp$$i$$ = dp$$i-1$$ + dp$$i-3$$ + dp$$i-4$$
print$dp[14]$

Ответ: Существует 710 способов построить забор.