Чтобы доказать, что середины сторон треугольника образуют ромб, будем использовать некоторые свойства треугольников и векторов.

Обозначим треугольник как ( ABC ), где ( A ), ( B ) и ( C ) — его вершины. Пусть ( M ), ( N ) и ( P ) — середины сторон ( AB ), ( AC ) и ( BC ) соответственно.

Сначала найдем координаты точек ( M ), ( N ) и ( P ). Если мы будем использовать координатную систему, то можем обозначить координаты вершин следующим образом:

( A(x_1, y_1) )( B(x_2, y_2) )( C(x_3, y_3) )

Тогда координаты середины отрезка ( AB ) будут:
[
M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
]

Координаты середины отрезка ( AC ):
[
N\left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right)
]

Координаты середины отрезка ( BC ):
[
P\left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)
]

Теперь найдем длины сторон ромба ( MN ), ( NP ), ( PM ) и ( NM ).

Для того чтобы показать, что фигура является ромбом, нужно доказать, что все её стороны равны, то есть ( MN = NP = PM = MN ).

Найдем длину ( MN ):
[
MN^2 = \left( \frac{x_1 + x_3}{2} - \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_1 + y_3}{2} - \frac{y_1 + y_2}{2} \right)^2
]
[
MN^2 = \left( \frac{x_3 - x_2}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_3 - y_2}{2} \right)^2 = \frac{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2}{4}
]

Найдем длину ( NP ):
[
NP^2 = \left( \frac{x_1 + x_3}{2} - \frac{x_2 + x_3}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_1 + y_3}{2} - \frac{y_2 + y_3}{2} \right)^2
]
[
NP^2 = \left( \frac{x_1 - x_2}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_1 - y_2}{2} \right)^2 = \frac{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}{4}
]

Найдем длину ( PM ):
[
PM^2 = \left( \frac{x_2 + x_3}{2} - \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_2 + y_3}{2} - \frac{y_1 + y_2}{2} \right)^2
]
[
PM^2 = \left( \frac{x_3 - x_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_3 - y_1}{2} \right)^2 = \frac{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2}{4}
]

Теперь мы имеем три выражения для квадратов длин сторон:

( MN^2 = \frac{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2}{4} )( NP^2 = \frac{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}{4} )( PM^2 = \frac{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2}{4} )

Далее, мы знаем, что:

Сумма длин двух сторон треугольника всегда равна длине третьей стороны (поскольку ( ABC ) — это треугольник).

В результате все три стороны ( MN ), ( NP ) и ( PM ) равны, что и означает, что фигура ( MNP ) является ромбом.

Таким образом, мы доказали, что середины сторон треугольника действительно образуют ромб.