Для решения задачи будем использовать условия момента сил относительно опоры.

Обозначим:

( L ) — длина стержня,( M ) — масса стержня,( m ) — масса груза,( g ) — ускорение свободного падения,( O ) — точка опоры.

По условию задачи опора находится на расстоянии ( \frac{L}{5} ) от груза, следовательно, расстояние от опоры до центра масс стержня (который находится в его середине, то есть на расстоянии ( \frac{L}{2} ) от одного конца) будет равно:

[
d_{c} = \frac{L}{2} - \frac{L}{5} = \frac{5L - 2L}{10} = \frac{3L}{10}
]

Теперь найдем моменты относительно точки опоры ( O ).

Момент силы от груза:
Груз создает момент относительно точки опоры, который равен:

[
M_{m} = m \cdot g \cdot \frac{L}{5}
]

Момент силы от стержня:
Стержень создает момент относительно точки опоры:

[
M_{M} = M \cdot g \cdot \frac{3L}{10}
]

Согласно условиям равновесия, сумма моментов относительно точки опоры равна нулю:

[
M{M} = M{m}
]

Подставим выражения для моментов:

[
M \cdot g \cdot \frac{3L}{10} = m \cdot g \cdot \frac{L}{5}
]

Убираем ( g ) и ( L ) (они не равны нулю):

[
M \cdot \frac{3}{10} = m \cdot \frac{1}{5}
]

Теперь выразим ( M ):

[
M = m \cdot \frac{1/5}{3/10} = m \cdot \frac{10}{15} = m \cdot \frac{2}{3}
]

Таким образом, масса стержня ( M ) равна ( \frac{2}{3} ) массы груза ( m ):

[
M = \frac{2}{3} m
]