1) Векторы $p=(m,-2,4)$ и $q=(6,n-12)$ коллинеарны, если существует скаляр $k$, такой что:

$$p=k\cdot q$$

Это означает, что компоненты векторов связаны следующим образом:

$$m=k\cdot 6$$ $$-2=k\cdot (n-12)$$ $$4=k\cdot 0$$

Последнее уравнение $4=k\cdot 0$ подразумевает, что $k$ может принимать любые значения при $0$ для компоненты $q$, так как на ноль делить нельзя. Это указывает на то, что для коллинеарности $k$ должен быть равен нулю, что в свою очередь означает, что вектор $q$ должен быть нулевым вектором.

Таким образом, мы приравниваем каждую составляющую $q$ к нулю:

$$6=0(\text{это уравнение не имеет решения}),$$ $$n-12=0\Rightarrow n=12.$$

В этом случае, чтобы $p$ и $q$ были коллинеарны, $p$ должен быть нулевым вектором:

$$m=0,-2(необходимобытьравным0).$$

Так что для любого $n=12$ вектор $q$ будет коллинеарен с вектором $p$ только если $m$ также равен 0.

Таким образом, возможные значения:

2) Векторы $a=(2,6-k,1)$ и $b=(-2,k,4)$ перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

$$a\cdot b=2\cdot (-2)+(6-k)\cdot k+1\cdot 4=0.$$

Посчитаем скалярное произведение:

$$-4+(6-k)k+4=0,$$ $$-4+6k-k^2+4=0,$$ $$6k-k^2=0.$$

Выносим $k$:

$$k(6-k)=0.$$

Следовательно, $k=0$ или $k=6$.

Итак, значения $k$ при которых векторы перпендикулярны: