В слове «четырёхигольный» буква «и» пишется потому, что это слово образовано от существительного «иголка» с помощью суффикса «-ный». В данном случае корень «иголь» перешёл в форму «игольный», где сохраняется буква «и», так как она находится в корне слова.

Также следует отметить, что фонетически мы слышим звуки, и исходя из правил русской орфографии, соответствующая буква «и» должна быть написана в этом слове. Таким образом, при образовании производного слова от «четыре» и существительного «иголка», «и» сохраняется для правильной передачи звучания и соответствия грамматическим нормам.