В предложении «А надо бы заснуть, чтобы рука завтра не дрожала» грамматическая основа состоит из двух частей:

В первой части «А надо бы заснуть» основа: «надо» $глагол,выражающийпотребность$.Во второй части «чтобы рука завтра не дрожала» основа: «рука» $существительное,подлежащее,иглагол«дрожала»,сказуемое$.

Таким образом, в каждой части предложения можно выделить свою грамматическую основу.