Задача 6

Для правильной треугольной призмы с нижним основанием в виде правильного треугольника, будем считать, что стороны треугольника равны $a$.

Мы проведем плоскость через одну из сторон $a$ нижнего основания под углом $\alpha$ к плоскости основания.Образовавшаяся фигура будет пирамидой с основанием в виде треугольника и вершиной, находящейся над стороной $a$.

Вычисление боковой поверхности пирамиды:

Высота пирамиды $h$ будет равна $h=h<em>\text{п}\cdot \sin (\alpha )$, где $h</em>\text{п}$ — высота призмы $высотатреугольника$, которую мы можем найти по формуле для высоты правильного треугольника:

$$h_{\text{п}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$

Стороны пирамиды будут равны длине отрезков, проведенных от трёх вершин треугольника до вершины пирамиды. Эти отрезки можно найти с использованием тригонометрии.

Площадь боковой поверхности пирамиды будет равна:

$$S<em>\text{бок}=\frac{1}{2}\cdot P</em>\text{осн}\cdot l$$

где $P_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ — площадь основания $правильноготреугольника$, $l$ — длина бокового ребра пирамиды.

Каждая из боковых граней также является треугольником, вы можете найти площадь каждой из боковых граней и суммировать их.

Задача 9

Рассмотрим равнобедренную трапецию с острым углом, у которой боковые стороны и меньшее основание равны $a$.

Обозначим большее основание трапеции как $b$. Установим высоту трапеции как $h$.

Когда трапеция вращается вокруг большего основания, образуется тело вращения $частьцилиндрасконусомсверху,еслипринятьвовниманиеменьшуюплощадь$.

Вычисление объема и поверхности тела вращения:

Объем:

Объем тела вращения можно найти по формуле:

$$V=\pi h\left(R^2-r^2\right)$$

где $R$ — радиус большей базы $(\frac{b}{2})$, а $r$ — радиус меньшей базы $(\frac{a}{2})$. Высота $h$ равна высоте трапеции.

Площадь поверхности:

Площадь поверхности тела вращения включает в себя площади боковой поверхности и оснований. Если следует вышеуказаны формулы для нахождения площади оснований:

$$S=2\pi Rh+2\pi rh+\pi R^2+\pi r^2$$

где первый и второй члены — это площадь боковой поверхности, а третий и четвертый — площади оснований.

Эти вычисления приведут к формуле объема и площади для тела вращения, образованного вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания.

Если нужны дальнейшие вычисления по этим формулам, пожалуйста, дайте знать, и мы продолжим!