Чтобы найти такие $n$, для которых выражения $2n+1$ и $4n+1$ являются простыми числами, начнем с подбора значений $n$ и проверки простоты полученных чисел.

Для $n=0$:
$$2n+1=2\cdot 0+1=1\text{(не простое)}$$ $$4n+1=4\cdot 0+1=1\text{(не простое)}$$

Для $n=1$:
$$2n+1=2\cdot 1+1=3\text{(простое)}$$ $$4n+1=4\cdot 1+1=5\text{(простое)}$$

Для $n=2$:
$$2n+1=2\cdot 2+1=5\text{(простое)}$$ $$4n+1=4\cdot 2+1=9\text{(не простое)}$$

Для $n=3$:
$$2n+1=2\cdot 3+1=7\text{(простое)}$$ $$4n+1=4\cdot 3+1=13\text{(простое)}$$

Для $n=4$:
$$2n+1=2\cdot 4+1=9\text{(не простое)}$$ $$4n+1=4\cdot 4+1=17\text{(простое)}$$

Для $n=5$:
$$2n+1=2\cdot 5+1=11\text{(простое)}$$ $$4n+1=4\cdot 5+1=21\text{(не простое)}$$

Для $n=6$:
$$2n+1=2\cdot 6+1=13\text{(простое)}$$ $$4n+1=4\cdot 6+1=25\text{(не простое)}$$

Для $n=7$:
$$2n+1=2\cdot 7+1=15\text{(не простое)}$$ $$4n+1=4\cdot 7+1=29\text{(простое)}$$

Мы получаем, что следующие значения $n$ дают оба простых числа:

Теперь мы проверим, могут ли $2n+1$ и $4n+1$ приниматься за простые числа для других значений $n$.
При большем $n$ оба выражения увеличиваются и исследуя прирост, мы можем заметить, что увеличение $n$ приводит к большему числу, и вероятность того, что они останутся простыми, снижается.

Можно также использовать свойства делимости для проверки больших $n$ $методыпробидел$. В общем случае, доказать, что для других $n$ простых чисел больше не существует, сложнее и требует более глубокого анализа или теории чисел.

С точки зрения практики чисел:
$$\text{Проверенные простые пары:}(n=1)\text{и}(n=3)$$ Другие проверки явно показывают, что дальнейшие примеры составляют всё меньше шансов встречаться простым парам, особенно для большого $n$.