В предложении, которое вы привели, запятые ставятся по следующим причинам:

Обособленные обстоятельственные обороты:

Фраза "облетев порядочный круг и убедившись, что лисица ушла" содержит два обстоятельственных оборота ("облетев" и "убедившись"), которые являются дополнительными пояснениями к действию главного предложения и выделяются запятыми.

Вводное слово:

Словосочетание "проверила, все ли одиннадцать бледно-зелёных яиц налицо" также требует запятой перед придаточным предложением "что все ли одиннадцать бледно-зелёных яиц налицо".

Соединение однородных членов в сложносочиненном предложении:

В предложении, где перечисляются действия ("проверила", "опустилась"), запятая ставится перед союзом "и" из-за наличия в списке действий, которые выполняет подлежащее.

Фраза "и, опустив нос, полузадремала":

Здесь "опустив нос" является причастным оборотом, который обособляется запятыми.

Таким образом, основными правилами, по которым ставятся запятые в приведённом предложении, являются обособление оборотов и выделение вводных слов.