Разберемся с вашей задачей поэтапно. У нас есть 8 книг: 3 по математике и 5 по информатике. Мы будем выбирать 4 книги наудачу и анализировать распределение числа книг по математике среди этих 4 выбранных.

1. Закон распределения

Обозначим количество книг по математике, которые мы выбрали среди 4 книг, как (X). Возможные значения (X) могут быть от 0 до 3, так как у нас всего 3 книги по математике.

Найдем вероятности для каждого значения (X):

(P(X = 0)): Мы выбираем 4 книги по информатике. Количество способов выбрать 4 книги из 5 по информатике:
[
C(5, 4) = \frac{5!}{4! (5-4)!} = 5
]
Общее количество способов выбрать 4 книги из 8:
[
C(8, 4) = \frac{8!}{4! (8-4)!} = 70
]
Таким образом,
[
P(X = 0) = \frac{C(5, 4)}{C(8, 4)} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}
]

(P(X = 1)): Мы выбираем 1 книгу по математике и 3 книги по информатике. Количество способов выбрать 1 книгу из 3 по математике и 3 книги из 5 по информатике:
[
C(3, 1) \cdot C(5, 3) = 3 \cdot 10 = 30
]
Соответственно,
[
P(X = 1) = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}
]

(P(X = 2)): Мы выбираем 2 книги по математике и 2 книги по информатике. Количество способов:
[
C(3, 2) \cdot C(5, 2) = 3 \cdot 10 = 30
]
Таким образом,
[
P(X = 2) = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}
]

(P(X = 3)): Мы выбираем все 3 книги по математике и 1 книгу по информатике. Количество способов:
[
C(3, 3) \cdot C(5, 1) = 1 \cdot 5 = 5
]
Таким образом,
[
P(X = 3) = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}
]

Теперь можно представить закон распределения (X):

[
\begin{align}
P(X = 0) & = \frac{1}{14} \
P(X = 1) & = \frac{3}{7} \
P(X = 2) & = \frac{3}{7} \
P(X = 3) & = \frac{1}{14}
\end{align}
]

2. Математическое ожидание

Математическое ожидание (E(X)) можно найти по формуле:
[
E(X) = \sum_{i=0}^3 x_i \cdot P(X = x_i)
]
где (x_i) — значения (X).

Подставляя значения:
[
E(X) = 0 \cdot \frac{1}{14} + 1 \cdot \frac{3}{7} + 2 \cdot \frac{3}{7} + 3 \cdot \frac{1}{14}
]
Перепишем:
[
E(X) = 0 + \frac{3}{7} + \frac{6}{7} + \frac{3}{14}
]
Приведем к общему знаменателю 14:
[
E(X) = \frac{6}{14} + \frac{12}{14} + \frac{3}{14} = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}
]

3. Дисперсия

Дисперсия (D(X)) находится по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала найдем (E(X^2)):
[
E(X^2) = \sum_{i=0}^3 x_i^2 \cdot P(X = x_i)
]
Подставляя значения:
[
E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{14} + 1^2 \cdot \frac{3}{7} + 2^2 \cdot \frac{3}{7} + 3^2 \cdot \frac{1}{14}
]
Перепишем:
[
E(X^2) = 0 + \frac{3}{7} + \frac{12}{7} + \frac{9}{14}
]
Приведем к общему знаменателю 14:
[
E(X^2) = \frac{6}{14} + \frac{24}{14} + \frac{9}{14} = \frac{39}{14}
]

Теперь рассчитаем дисперсию:
[
D(X) = \frac{39}{14} - \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{39}{14} - \frac{9}{4}
]
Переведем (\frac{9}{4}) в 14-й знаменатель:
[
D(X) = \frac{39}{14} - \frac{31.5}{14} = \frac{7.5}{14} = \frac{15}{28}
]

4. Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение ( \sigma ) вычисляется как:
[
\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{15}{28}}
]

5. Функция распределения

Функция распределения (F(x)) показывает вероятность, что случайная величина (X) примет значение, меньшее или равное (x):

[
\begin{align}
F(0) & = P(X \leq 0) = P(X = 0) = \frac{1}{14} \
F(1) & = P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = \frac{1}{14} + \frac{3}{7} = \frac{1}{14} + \frac{6}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \
F(2) & = P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{1}{14} + \frac{6}{14} + \frac{6}{14} = \frac{13}{14} \
F(3) & = P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1
\end{align}
]

Теперь у вас есть все необходимые этапы для решения задачи. Вы можете представить результаты в виде таблицы или графика. Если есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!