Для решения задачи используем формулу для радиуса окружности, описанной около треугольника. Радиус $R$ может быть вычислен по формуле:

$$R=\frac{a}{2\sin A}$$

где $a$ — длина стороны, противолежащей углу $A$, и $A$ — величина угла, противолежащего стороне $a$.

В нашем случае:

Пусть сторона $AB=c=10$ $большаясторона$,Угол $\angle ABC=150^{\circ }$, следовательно, будем обозначать:
$A=\angle ACB$,$B=\angle ABC=150^{\circ }$,$C=\angle BAC$.

Согласно теореме о сумме углов треугольника:

$$A+B+C=180^{\circ }$$

Таким образом,

$$A+C=30^{\circ }.$$

Теперь найдем сторону $AC=b$ и сторону $BC=a$. Для нахождения этого значения, воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin C}=\frac{c}{\sin B}.$$

Так как сторона $c=10$ и угол $B=150^{\circ }$, то:

$$\frac{10}{\sin 150^{\circ }}=\frac{10}{\frac{1}{2}}=20.$$

Теперь мы знаем, что:

$$a=20\sin A,$$ $$b=20\sin C.$$

Подставим $a$ в формулу для радиуса $R$:

$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{20\sin A}{2\sin A}=10.$$

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен:

$$\boxed{10}.$$