Давайте решим данную задачу по геометрии, используя известную информацию.

У нас есть тетраэдр SABC, в котором угол C треугольника ABC равен 90 градусов. Это значит, что треугольник ABC – прямоугольный. Пусть точки имеют следующие координаты:

A(0, 0, 0) (начало координат),B(a, 0, 0),C(0, b, 0),S(0, 0, h) (так как SC перпендикулярна плоскости ABC и проходит по вертикали от точки C).

Из условия задачи известны длины SC, AC и BC, которые равны (\sqrt{96}). Это значит:

(SC = h = \sqrt{96}),(AC = \sqrt{(0-0)^2 + (b-0)^2 + (0-0)^2} = b),(BC = \sqrt{(a-0)^2 + (0-b)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}).

Так как (AC = BC = \sqrt{96}), то (b = \sqrt{96}) и (a^2 + b^2 = 96). Поскольку (b = \sqrt{96}), мы можем найти (a):
[
a^2 + 96 = 96 \Rightarrow a^2 = 0 \Rightarrow a = 0.
]
Таким образом, точка B совпадает с точкой A, и AB стало нулевой.

Точка N – это середина отрезка AB, который в нашем случае является точкой A, то есть N(0, 0, 0).

Теперь мы считаем SN:
[
SN = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{h^2} = h = \sqrt{96}.
]

Таким образом, окончательный ответ:
[
SN = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}.
]