Для решения задачи начнем с построения правильной четырехугольной призмы ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) с координатами вершин.

Обозначим координаты вершин призмы следующим образом:

( A(0, 0, 0) )( B(2, 0, 0) )( C(2, 2, 0) )( D(0, 2, 0) )( A_1(0, 0, 4) )( B_1(2, 0, 4) )( C_1(2, 2, 4) )( D_1(0, 2, 4) )

Теперь найдем координаты точек ( E ) и ( F ):

Точка ( E ) — середина отрезка ( CD ):
[
E = \left( \frac{2+0}{2}, \frac{2+2}{2}, 0 \right) = (1, 2, 0)
]Точка ( F ) — середина отрезка ( AD ):
[
F = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}, 0 \right) = (0, 1, 0)
]

Теперь определим векторы ( CF ) и ( B_1E ) для последующего нахождения угла между ними.

Вектор ( CF ):
[
CF = F - C = (0, 1, 0) - (2, 2, 0) = (-2, -1, 0)
]

Вектор ( B_1E ):
[
B_1E = E - B_1 = (1, 2, 0) - (2, 0, 4) = (-1, 2, -4)
]

Теперь найдем косинус угла ( \theta ) между векторами ( CF ) и ( B_1E ). Формула для косинуса угла между двумя векторами ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) выглядит следующим образом:
[
\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
]
Где ( \vec{a} \cdot \vec{b} ) — скалярное произведение, а ( |\vec{a}| ) и ( |\vec{b}| ) — длины векторов.

Вычислим скалярное произведение ( CF ) и ( B_1E ):
[
CF \cdot B_1E = (-2)(-1) + (-1)(2) + (0)(-4) = 2 - 2 + 0 = 0
]

Длины векторов:
[
|CF| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
]
[
|B_1E| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}
]

Теперь можем подчеркнуть, что косинус угла равен нулю:
[
\cos \theta = \frac{0}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = 0
]
Это указывает на то, что угол ( \theta = 90^\circ ).

Таким образом, угол между прямыми ( CF ) и ( B_1E ) равен ( 90^\circ ) (прямой угол).