Оба варианта могут быть правильными в зависимости от контекста, однако второй вариант — "Производится одним из оборонных минских НИИ на заказ детсада 'Ласточка'" — звучит более естественно. Он чётко указывает на то, кто именно производит, что делает фразу более понятной. Первый вариант звучит несколько неуклюже и менее конкретно.