Дано:

Прямоугольный треугольник ABC, где угол C — прямой.Угол между биссектрисой CK и высотой CH равен 15 градусов.Длина стороны AB = 14 см.Точка K лежит между точками B и H.

Требуется найти длину стороны AC.

Обозначим:

AC = bBC = a

Согласно свойствам биссектрисы и высоты в прямоугольном треугольнике, можно использовать теорему о биссектрисе. В данном случае, воспользуемся углом, который задан в условии задачи.

Известно, что сумма углов в треугольнике:

[
\angle ACB + \angle ABC + \angle CAB = 180^{\circ}
]

С учетом того, что (\angle ACB = 90^{\circ}):

[
\angle ABC + \angle CAB = 90^{\circ}
]

Так как (\angle CKH = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}) (угол между биссектрисой и высотой), мы можем записать:

[
\angle ABC = 75^{\circ} \quad \text{и} \quad \angle CAB = 15^{\circ}
]

Теперь мы можем использовать соотношения в треугольнике ABC с известной стороной AB = 14 см.

По формуле синусов:

[
\frac{a}{\sin(15^\circ)} = \frac{b}{\sin(75^\circ)} = \frac{14}{\sin(90^\circ)}
]

Найдем стороны a и b:

[
a = 14 \cdot \sin(15^{\circ})
]
[
b = 14 \cdot \sin(75^{\circ})
]

Зная, что (\sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) и (\sin(75^{\circ}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}):

[
a = 14 \cdot \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{14(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{7(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}
]

[
b = 14 \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{14(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{7(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}
]

Таким образом, можно выразить стороны по известной длине AB. Теперь можно вывести нужное значение.

(AC = b = \frac{7(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \approx 14.85 см).

Ответ: Длина стороны AC равна (\frac{7(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}) см, что примерно равно 14.85 см.