Окончания «-ему» и «-ому» в русском языке используются для образования форм дательного падежа, но применяются они в зависимости от рода и числа существительных.

-ему:

Окончание «-ему» используется для существительных мужского рода и единственного числа, которые принадлежат к мягкому или твёрдому типу склонения.Примеры: «мальчику» (от «мальчик»), «другу» (от «друг»).

-ому:

Окончание «-ому» применяется для существительных мужского рода единственного числа, которые имеют твёрдый согласный в основе.Примеры: «папе» (от «папа»), «дедушке» (от «дедушка»).

Кроме того, «-ому» и «-ему» используются в формах прилагательных и местоимений:

Например: «белому» (от «белый»), «красивому» (от «красивый»).

Обычно, чтобы правильно использовать окончания, необходимо знать, к какому типу склонения относится данное слово.