Для решения квадратных неравенств мы будем использовать метод нахождения корней соответствующих квадратных уравнений и определение знаков функции на интервалах.

1) Неравенство: ( x^2 - 3x + 2 < 0 )

Сначала найдем корни уравнения ( x^2 - 3x + 2 = 0 ).

Формула корней: ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ),

где ( a = 1, b = -3, c = 2 ):
[
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}
]

Корни:
[
x_1 = 2, \quad x_2 = 1
]

Теперь определим знаки функции на интервалах:

Интервал ( (-\infty, 1) ): выбираем ( x = 0 ) → ( 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 > 0 )Интервал ( (1, 2) ): выбираем ( x = 1.5 ) → ( (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 0.25 < 0 )Интервал ( (2, \infty) ): выбираем ( x = 3 ) → ( 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 2 > 0 )

Таким образом, ( x^2 - 3x + 2 < 0 ) на промежутке ( (1, 2) ).

Ответ: ( (1, 2) )

2) Неравенство: ( 4x - x^2 \geq 0 )

Перепишем неравенство: ( -x^2 + 4x \geq 0 ) или ( x(4 - x) \geq 0 ).

Корни уравнения ( x(4 - x) = 0 ):
[
x_1 = 0, \quad x_2 = 4
]

Определяем знаки функции на интервалах:

Интервал ( (-\infty, 0) ): выбираем ( x = -1 ) → ( (-1)(5) < 0 )Интервал ( (0, 4) ): выбираем ( x = 2 ) → ( (2)(2) > 0 )Интервал ( (4, \infty) ): выбираем ( x = 5 ) → ( (5)(-1) < 0 )

Таким образом, ( 4x - x^2 \geq 0 ) на промежутках ( [0, 4] ).

Ответ: ( [0, 4] )

3) Неравенство: ( -2x^2 + x + 1 \leq 0 )

Перепишем неравенство в стандартном виде: ( 2x^2 - x - 1 \geq 0 ).

Находим корни уравнения ( 2x^2 - x - 1 = 0 ):
[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}
]

Корни:
[
x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{1}{2}
]

Определяем знаки функции на интервалах:

Интервал ( (-\infty, -\frac{1}{2}) ): выбираем ( x = -1 ) → ( 2(-1)^2 - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 > 0 )Интервал ( (-\frac{1}{2}, 1) ): выбираем ( x = 0 ) → ( 2(0)^2 - 0 - 1 = -1 < 0 )Интервал ( (1, \infty) ): выбираем ( x = 2 ) → ( 2(2)^2 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 > 0 )

Таким образом, ( 2x^2 - x - 1 \geq 0 ) на промежутках ( (-\infty, -\frac{1}{2}] ) и ( [1, \infty) ).

Ответ: ( (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [1, \infty) )