Чтобы найти расстояние от вершины $A$ до плоскости $ED{B}_1$, нам нужно определить координаты всех точек и уравнение плоскости, чтобы затем вычислить расстояние.

Координаты вершин:
Положим, что шестиугольная призма расположена в пространстве так, чтобы ее основание $шестиугольник(ABCDEF)$ находилось в плоскости $Z=0$, а верхняя грань $шестиугольник(A_1{B}_1{C}_1{D}_1{E}_1{F}_1)$ — в плоскости $Z=a$.

Вводим координаты вершин:

Для верхней грани:

Находим уравнение плоскости $ED{B}_1$:
Для определения уравнения плоскости, проходящей через три точки $E(-a,0,0)$, $D\left(-\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$, и $B_1\left(a,0,a\right)$, используем формулу уравнения плоскости.

Сначала найдем два вектора, лежащих в плоскости:

Теперь вычислим векторное произведение этих векторов, чтобы получить нормаль к плоскости:
n⃗=ED⃗×EB1⃗=∣i^amp;j^amp;k^ a2amp;a32amp;0 2aamp;0amp;a∣ \vec{n} = \vec{ED} \times \vec{EB_1} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
\frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & 0 \
2a & 0 & a
\end{vmatrix}
n=ED×EB1 = i^ amp;j^ amp;k^ 2a amp;2a3 amp;0 2a amp;0 amp;a

Вычислим детерминант:
$$n=\hat{i}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot a-0\cdot 0\right)-\hat{j}\left(\frac{a}{2}\cdot a-0\cdot 2a\right)+\hat{k}\left(\frac{a}{2}\cdot 0-\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot 2a\right)$$ $$=\hat{i}\left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)-\hat{j}\left(\frac{a^2}{2}\right)-\hat{k}\left(\sqrt{3}{a}^2\right)$$ $$=\left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2},-\frac{a^2}{2},-\sqrt{3}{a}^2\right)$$

Уравнение плоскости имеет вид:
$$\frac{a^2\sqrt{3}}{2}(x+a)-\frac{a^2}{2}(y-0)-\sqrt{3}{a}^2(z-0)=0$$

Упрощаем и преобразуем уравнение:
$$a^2\sqrt{3}x-a^{2}y-2\sqrt{3}{a}^{2}z=0$$

Приведем к стандартному виду:
$$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}z=0.$$

Находим расстояние от точки $A(0,0,0)$ до плоскости:
Для нахождения расстояния от точки $(x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ используется формула:
$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ Подставим в формулу:
$$A=\sqrt{3},B=-1,C=-2\sqrt{3},D=0.$$ $$d=\frac{|\sqrt{3}\cdot 0-1\cdot 0-2\sqrt{3}\cdot 0+0|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2+(-2\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{0}{\sqrt{3+1+12}}=\frac{0}{\sqrt{16}}=0.$$

Таким образом, расстояние от вершины $A$ до плоскости $ED{B}_1$ равно 0, что означает, что точка $A$ лежит в этой плоскости.