Разберем данное предложение по членам:

Вот дятел застучал по дереву своим длинным и крепким клювом.

Вот — вводное слово.дятел — подлежащее (кто? что?).застучал — сказуемое (что сделал?).по дереву — обстоятельство места (где?).своим длинным и крепким клювом — обстоятельство орудия (чем?).
своим — притяжательное местоимение.длинным и крепким — определения к слову "клювом".клювом — дополнение (что? чем?).

Он достает из-под коры дерева жуков и ест их.

Он — подлежащее (кто? что?).достает — сказуемое (что делает?).из-под коры дерева — обстоятельство места (откуда?).
из-под — предлог.коры — дополнение (что?).дерева — дополнение (чего?).жуков — дополнение (кого? что?).и — союз.ест — сказуемое (что делает?).их — дополнение (кого? что?).

Люди называют дятла лесным доктором, ведь он лечит больные деревья.

Люди — подлежащее (кто? что?).называют — сказуемое (что делают?).дятла — дополнение (кого? что?).лесным доктором — определение (кем? чем?).ведь — союз (объяснительный).он — подлежащее (кто? что?).лечит — сказуемое (что делает?).больные деревья — дополнение (какие? что?).
больные — определение к слову "деревья".деревья — дополнение (что? кого?).

Таким образом, каждое предложение разбивается на части, которые выполняют свои синтаксические функции.