Ниже — школьный синтаксический разбор предложения:
«Пушкин входит в нашу жизнь в самом начале её и уже не покидает до конца.»

Тип предложения

Простое, двусоставное, распространённое, повествовательное, невосклицательное.В предложении один грамматический центр (подлежащее) и два однородных сказуемых, соединённых сочинительным союзом «и».

Члены предложения

Подлежащее: Пушкин — имя собственное, сущ., м.р., ед.ч., им. п.Сказуемые (однородные, простые глагольные):
1) входит — глагол, личная форма, наст. вр., 3-е лицо, ед.ч.;
дополнение при нём: в нашу жизнь;
обстоятельство времени: в самом начале её (относятся к действию «входит»).
2) (не) покидает — глагол с отрицательной частицей «не», личная форма, наст. вр., 3-е лицо, ед.ч.;
обстоятельственные уточнения при нём: уже (наречие/частица), до конца (обстоятельство времени — предлог + сущ. в род. падеже).Дополнение: в нашу жизнь — выражено существительным с зависимым словом «нашу» (притяжательное прилагательное), винительный падеж; отвечает на вопрос «во что?».Обстоятельство времени: в самом начале её — выражено сочетанием «в + сущ. (начале) + определение (самом) + местоимение (её)»; отвечает на вопрос «когда?» (уточняет момент вхождения).Обстоятельство времени (продолжительность/предел): до конца — предлог «до» + существительное «конца» в род. падеже; отвечает на вопрос «до каких пор?».«Уже» — наречие/частица, модифицирует сказуемое «не покидает» (уточняет временной характер действия).«Не» — частица отрицания, входит в состав сказуемого «не покидает».

Схема (упрощённо)
Пушкин — (входит в нашу жизнь в самом начале её) и (уже не покидает до конца).
(Подлежащее) + однородные сказуемые, каждое со своими зависимыми членами.

Если нужно, могу сделать точечный морфологический разбор каждого слова или нарисовать дерево зависимостей.