Короткий ответ: правильно — юго‑западный $сдефисом$. Это часть общей орфографической закономерности: дефис обычно ставится в сложных прилагательных, образованных объединением двух равноправных основ $цвета,направления,названияязыков/народов,отраслейит.п.$. Ниже — правила и типичные случаи/исключения.

1) Когда ставят дефис

Сложные прилагательные из двух равноправных слов $координация$: направления $юг+запад\to юго‑западный$, цвета $красно‑белый$, названия языков/народов/страна‑производитель $русско‑французский,англо‑американский$, сочетания отраслей/наук $физико‑математический$, сочетания типа «социально‑экономический», «научно‑технический». Примеры: юго‑западный, северо‑восточный, красно‑белый, русско‑английский, научно‑исследовательский $часточерездефис$.

2) Когда пишут слитно

Если первая часть выступает как приставкообразный элемент с соединительной гласной -о / -е и образует единый термин, обозначающий отношение к территории, региону, эпохе и т.п., то обычно слитно: восточноевропейский, североамериканский, южноафриканский, центральноевропейский. Примеры: восточноевропейский, североамериканский, южноафриканский.

3) Типичные «контрастные» пары $чтобызапомнить$

юго‑западный $направление$ — североамериканский $относитсякСевернойАмерике$;северо‑восточный $направление$ — восточноевропейский $относитсякВосточнойЕвропе$;красно‑белый $цвета$ — восточноазиатский $территориальныйтермин,слитно$.

4) Практическое правило-подсказка

Если первая часть — название направления $=юг,север,запад,восток$ и вторая — тоже направление $восточный/западныйит.п.$, ставьте дефис: юго‑западный, северо‑западный.Если первая часть указывает на территорию/страну/континент и выступает как элемент «относящийся к…», обычно слитно: североамериканский, восточноазиатский, южноамериканский.Если оба компонента равноправны и комбинируются по смыслу $«и\dots и\dots »,«сочетание»$, чаще дефис.

5) Советы

В спорных или редких словах проверьте словарь $Орфографическийсловарьили«Розенталь»$: там указано, слитно или через дефис пишется конкретное слово.Запомните наиболее частые пары и типы $цвета,направления,языки/народности—дефис;территориальные«восточно/южно/...+-европейский/-американский»—слитно$.

Если хотите, могу привести более полный список примеров/правил по Розенталю с типовыми шаблонами и исключениями.