Коротко и по делу.
В предложении «Она сказала: «Я приду завтра»» двоеточие ставится, потому что слова автора предшествуют прямой речи и вводят её (глагол речи — «сказала»).
Основные варианты расположения слов автора и прямой речи:
$1$ Слова автора перед прямой речью — ставят двоеточие:
Она сказала: «Я приду завтра».
Прямая речь после двоеточия начинается с заглавной буквы.
$2$ Прямая речь перед словами автора — между ними ставят тире (перед словами автора):
«Я приду завтра, — сказала она.»
Если прямая речь оканчивается вопросительным/восклицательным знаком, этот знак сохраняется, затем ставят тире: «Приду ли я? — спросила она.»
$3$ Слова автора внутри прямой речи (вставка) — вставку отделяют парой тире, перед и после слов автора внутри кавычек обычно ставится запятая по правилам прямой речи:
«Я приду, — сказала она, — если позволит погода.»
Дополнительные замечания:
- Если прямая речь заменена косвенной (не в кавычках, с союзом «что»), то между частями ставится запятая: Она сказала, что придёт завтра.
- После двоеточия прямая речь начинается с прописной; при вставке и при конце — обращайте внимание на сохранение вопросительного/восклицательного знака внутри кавычек.
Это основные положения: двоеточие — автор перед речью; тире — автор после или вставлен в речь; запятая — внутри прямой речи для завершения её части или в конструкции косвенной речи.